Blogger Educativo Matemática 3ero BGU matutina: enero 2021

viernes, 8 de enero de 2021

M A T R I C E S

Objetivo del tema: Comprender los diferentes conceptos, propiedades, reglas y características de matrices para ejecutar ejercicios por diferentes métodos.

INTRODUCCIÓN A MATRICES

Las matrices son objetos matemáticos que permiten organizar información numérica (y también de otros tipos) de un modo natural y sencillo. La idea consiste en disponer números en forma de tabla, con una estructura de filas y columnas, de manera que cada elemento (cada número) de la tabla puede ser identificado mediante su posición. Ya dentro del campo de las matemáticas, se utilizan como instrumentos muy útiles en todas sus disciplinas: cálculo, estadística, geometría, lógica, criptografía, álgebra, probabilidad ...

Conceptos:

Columnas.- Abreviadamente una matriz se expresa A=(ij) donde (A) es la matriz, (i), las filas y la (j) las columnas.

TIPOS DE MATRICES
Matriz nula: Se llama nula a la que tiene todos sus elementos cero.
Matriz fila: Tiene una sola fila.
Matriz Columna: Tiene una sola columna.
Matriz cuadrada: Tiene el mismo número de filas y columnas.

Dentro de una matriz cuadrada tenemos una diagonal principal y una diagonal secundaria:

jueves, 7 de enero de 2021

Características:

Definición: una matriz es un conjunto ordenado de elementos que están dispuestos en filas y en columnas, intersecándose para relacionar dichos elementos. Una matriz de números reales de m filas y n columnas es, por definición, el siguiente esquema:

donde cada elemento: i representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m; j representa la columna y tiene un valor comprendido entre 1 y n. En intervalos. Así, cuando una matriz consta de m filas y n columnas se dice que la matriz es de tipo . Por tanto, se designa por al conjunto de las matrices de números reales.

Propiedades:

Suma y resta de matrices

Para sumar o restar una matriz se debe tomar en cuenta que sus dimensiones sean iguales. Para su operación se debe realizar término a término en línea es decir en fila y así obtenemos la matriz. Ejemplo:

Producto de matrices

Para la operación se debe multiplicar la fila por todas las columnas existentes, término a término y sumar todos sus resultados para encontrar el primer valor. Ejemplo:

miércoles, 6 de enero de 2021

Matriz Inversa

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A^-1, a la única matriz que cumple que:

A·A^-1 = I = A^-1·A

Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.

La matriz inversa no siempre existe, para que exista, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz sea distinto de cero:

Aunque existe otro procedimiento para calcular la inversa a través de transformaciones elementales ( método de Gauss), la formula con la que se calcula la matriz inversa es:

PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA

1. La matriz inversa si existe es única.

2. (A^-1)^-1 = A, es decir, la inversa de la inversa es la matriz inicial.

3. (A·B)^-1 = B^-1·A^-1

4. |A^-1| = 1 / |A|

Cálculo de la matriz inversa por definición

Supongamos que nos piden calcular la inversa de la matriz $A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

1) Asignamos a los elementos de la matriz inversa (que desconocemos) letras: a, b, c, ..
$A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$

2) Planteamos la igualdad de la definición: $A \cdot A^{-1} = I$
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

3) Resolvemos el producto de matrices $A \cdot A^{-1}$
$\left( \begin{array}{cc} a+c & b+d \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

4) Igualamos elemento a elemento.

5) Resolvemos los sistemas de ecuaciones resultantes
$\left. \begin{array}{cc} a+c=1 \\c=0 \end{array} \right\} \Longrightarrow \fbox{a=1} \: ; \: \fbox{c=0}$
$\left. \begin{array}{cc} b+d=0 \\d=1 \end{array} \right\} \Longrightarrow \fbox{d=1} \: ; \: \fbox{b=-1}$

Por tanto la inversa es $A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTE

Para aplicar determinante se debe aplicar la regla de Cramer que consiste en copiar las dos primeras filas hacia abajo o copiar las dos primeras columnas hacia la derecha, multiplicamos las diagonales superiores menos la diagonal inferior y así encontramos el valor del determinante principal.

Ejemplo

Vamos a calcular la inversa de la matriz $A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$

Calculamos el determinante: $|A| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| = 0+2+1-0-0-6 = -3$

Calculamos la matriz adjunta $Adj(A) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -5 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{array} \right)$

Le hacemos la traspuesta: $(Adj(A))^t = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1 \\ -5 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{array} \right)$

Por último, dividimos por -3 (valor de |A|)

$A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \\ \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array} \right)$

SISTEMAS RESUELTO POR ELIMINACIÓN

La matriz ampliada del sistema es

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.

Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en forma escalonada reducida:

Sumamos a las filas tercera y cuarta la primera multiplicada por 3 y por -2, respectivamente:

Sumamos a las filas primera, segunda y tercera la cuarta multiplicada por 2, -3 y 5, respectivamente:

Multiplicamos la cuarta fila por -1 y la intercambiamos con la segunda:

Multiplicamos las filas tercera y cuarta por 1/34 y -1/22, respectivamente:

Le restamos la tercera fila a la cuarta:

Multiplicamos la cuarta fila por -187/42:

Le sumamos a las filas primera y segunda la tercera multiplicada por -13 y 8, respectivamente:

Le sumamos a las filas primera, segunda y tercera la cuarta multiplicada por 5/34, 5/17 y -3/34, respectivamente:

Su solución es