Blogger Educativo Matemática 3ero BGU matutina: Matriz Inversa

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A, y se expresa A^-1, a la única matriz que cumple que:

A·A^-1 = I = A^-1·A

Es decir, la matriz inversa de A es la única matriz que al multiplicarla por ella obtenemos la matriz identidad del orden correspondiente.

La matriz inversa no siempre existe, para que exista, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz sea distinto de cero:

Aunque existe otro procedimiento para calcular la inversa a través de transformaciones elementales ( método de Gauss), la formula con la que se calcula la matriz inversa es:

PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA

1. La matriz inversa si existe es única.

2. (A^-1)^-1 = A, es decir, la inversa de la inversa es la matriz inicial.

3. (A·B)^-1 = B^-1·A^-1

4. |A^-1| = 1 / |A|

Cálculo de la matriz inversa por definición

Supongamos que nos piden calcular la inversa de la matriz $A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

1) Asignamos a los elementos de la matriz inversa (que desconocemos) letras: a, b, c, ..
$A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$

2) Planteamos la igualdad de la definición: $A \cdot A^{-1} = I$
$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

3) Resolvemos el producto de matrices $A \cdot A^{-1}$
$\left( \begin{array}{cc} a+c & b+d \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

4) Igualamos elemento a elemento.

5) Resolvemos los sistemas de ecuaciones resultantes
$\left. \begin{array}{cc} a+c=1 \\c=0 \end{array} \right\} \Longrightarrow \fbox{a=1} \: ; \: \fbox{c=0}$
$\left. \begin{array}{cc} b+d=0 \\d=1 \end{array} \right\} \Longrightarrow \fbox{d=1} \: ; \: \fbox{b=-1}$

Por tanto la inversa es $A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTE

Para aplicar determinante se debe aplicar la regla de Cramer que consiste en copiar las dos primeras filas hacia abajo o copiar las dos primeras columnas hacia la derecha, multiplicamos las diagonales superiores menos la diagonal inferior y así encontramos el valor del determinante principal.

Ejemplo

Vamos a calcular la inversa de la matriz $A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right)$

Calculamos el determinante: $|A| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| = 0+2+1-0-0-6 = -3$

Calculamos la matriz adjunta $Adj(A) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -5 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{array} \right)$

Le hacemos la traspuesta: $(Adj(A))^t = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1 \\ -5 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{array} \right)$

Por último, dividimos por -3 (valor de |A|)

$A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \\ \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array} \right)$

SISTEMAS RESUELTO POR ELIMINACIÓN

La matriz ampliada del sistema es

Explicamos el método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y los aplicamos para resolver 10 sistemas de ecuaciones. También, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para determinar el tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible). Álgebra matricial, matrices. Bachillerato, Universidad. Matemáticas.